黎曼几何是黎曼流形上的几何学。
黎曼流形指的是一个n维微分流形M，在其上给定了一个黎曼度量g，也就是说，在微分流形M的每一个坐标邻域（U,x）内，用一个正定对称的二次微分来度量二个无限邻近的点（x1,x2，…，xn。
流形上的黎曼度量给定后，我们可以得到一个唯一确定的对称（即无挠）联络，并且它保持黎曼度量。
这个联络称为这个黎曼度量的Levi-Civita联络。
有了联络，我们就可以定义向量场的协变微分和协变导数，从而建立起流形上的微分学。
经过查询可以知道，希尔伯特空间是黎曼流形呀。
希尔伯特流形是模空间为希尔伯特空间的巴拿赫流形。
希尔伯特-黎曼流形是指定了黎曼度量的希尔伯特流形。
设M是希尔伯特微分流形，M上的黎曼度量指的是M上的一个连续的正定对称二阶协变。
证明：在黎曼流形上M，Jacobi场U满足以下微分方程：(D^2/dt^2)U+R(J,V)*V=0 其中V是沿测地线的切向量，R是黎曼曲率张量。
对于非零正交Jacobi场U，我们有U⊥V，因此R(U,V)*V≠0。
由于U是非零正交Jacobi场，。
黎曼认识到度量只是加到流形上的一种结构，并且在同一流形上可以有许多不同的度量。
黎曼以前的数学家仅知道三维欧几里得空间E3中的曲面S上存在诱导度量ds2=Edu2+2Fdudv+Gdv2，即第一基本形式，而并未认识到S还可以有独立于。