函数构成的空间。泛函分析是由对变换（如傅立叶变换等）的性质的研究和对微分方程以及积分方程的研究发展而来的。使用泛函作为表述源自变分法，代表作用于函数的函数。 巴拿赫（Stefan Banach）是泛函分析理论的主要奠基人之一，而数学家兼物理学家伏尔泰拉（Vito Volterra）对泛函分析的广泛应用有重要贡献。 泛函分析是20世纪30年代形成的数学分科。是从变分问题，积分方程和理论物理的研究中发展起来的。它综合运用函数论， 几何学， 代数学的观点来研究无限维向量空间上的函数， 算子和极限理论。它可以看作无限维向量空间的解析几何及数学分析。主要内容有拓扑线性空间等。泛函分析在数学物理方程，概率论，计算数学等分科中都有应用，也是研究具有无限个自由度的物理系统的数学工具。泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的分支学科。 量子力学数学描述的基础。更一般的泛函分析也研究Fréchet空间和拓扑向量空间等没有定义范数的空间。 泛函分析所研究的一个重要对象是巴拿赫空间和 希尔伯特空间 上的连续线性算子。这类算子可以导出C*代数和其他算子代数的基本概念。 1. 希尔伯特空间 希尔伯特空间可以利用以下结论完全分类，即对于任意两个希尔伯特空间，若其基的基数相等，则它们必彼此同构。对于有限维希尔伯特空间而言，其上的连续线性算子即是线性代数中所研究的线性变换。对于无穷维希尔伯特空间而言，其上的任何态射均可以分解为可数维度（基的基数为50）上的态射，所以泛函分析主要研究可数维度上的希尔伯特空间及其态射。希尔伯特空间中的一个尚未完全解决的问题是，是否对于每个希尔伯特空间上的算子，都存在一个真不变子空间。该问题在某些特定情况下的答案是肯定的。 2. 巴拿赫空间 一般的巴拿赫空间比较复杂，例如没有通用的办法构造其上的一组基。 对于每个实数p，如果p ≥ 1，一个巴拿赫空间的例子是“所有绝对值的p次方的积分收敛的勒贝格可测函数”所构成的空间。（参看Lp空间） 在巴拿赫空间中，相当部分的研究涉及到对偶空间的概念，即巴拿赫空间上所有连续线性泛函所构成的空间。对偶空间的对偶空间可能与原空间并不同构，但总可以构造一个从巴拿赫空间到其对偶空间的对偶空间的一个单同态。 微分的概念可以在巴拿赫空间中得到推广，微分算子作用于其上的所有函数，一个函数在给定点的微分是一个连续线性映射。 佐恩引理（Zorn's Leema）。此外，泛函分析中大部分重要定理都构建与罕-巴拿赫定理的基础之上，而该定理本身就是选择公理（Axiom of Choice）弱于布伦素理想定理（Boolean prime ideal theorem）的一个形式。 数学物理 ，从更广义的角度来看，如按照Israel Gelfand所述，其包含表示论的大部分类型的问题。 阿达玛发表的著作中，出现了把分析学一般化的萌芽。随后，希尔伯特和海令哲来创了“希尔伯特空间”的研究。到了二十年代，在数学界已经逐渐形成了一般分析学，也就是泛函分析的基本概念。 由于分析学中许多新部门的形成，揭示出分析、代数、集合的许多概念和方法常常存在相似的地方。比如，代数方程求根和微分方程求解都可以应用逐次逼近法，并且解的存在和唯一性条件也极其相似。这种相似在积分方程论中表现得就更为突出了。泛函分析的产生正是和这种情况有关，有些乍看起来很不相干的东西，都存在着类似的地方。因此它启发人们从这些类似的东西中探寻一般的真正属于本质的东西。 非欧几何的确立拓广了人们对空间的认知，n维空间几何的产生允许我们把多变函数用几何学的语言解释成多维空间的影响。这样，就显示出了分析和几何之间的相似的地方，同时存在着把分析几何化的一种可能性。这种可能性要求把几何概念进一步推广，以至最后把欧氏空间扩充成无穷维数的空间。 这时候，函数概念被赋予了更为一般的意义，古典分析中的函数概念是指两个数集之间所建立的一种对应关系。现代数学的发展却是要求建立两个任意集合之间的某种对应关系。 这里我们先介绍一下算子的概念。算子也叫算符，在数学上，把无限维空间到无限维空间的变换叫做算子。 研究无限维线性空间上的泛函数和算子理论，就产生了一门新的分析数学，叫做泛函分析。在二十世纪三十年代，泛函分析就已经成为数学中一门独立的学科了。 概率论、计算数学、连续介质力学、量子物理学等学科有着广泛的应用。近十几年来，泛函分析在工程技术方面有获得更为有效的应用。它还渗透到数学内部的各个分支中去，起着重要的作用。
以认为学简单的泛函分析不需要实变函数的基础，简单的代数和拓扑知识更有用，稍复杂一些的泛函分析则最好是各科基础都需要，一来很多技术手段是差不多的，二来泛函分析比较抽象，各种例子都会帮助理解，所以即使是学简单的泛函分析也最好先对别的课程有所了解，否则虽然完全可以学但不见得理解得很深入。
对于实分析的不适应也许是数学分析和复分析接触得太多了一时间无法转变思维方式，这个习惯了就好，多从高层次去理解证明的主线而非细节。实变函数和泛函分析这种课程本科就应该或多或少讲过一些了，怎么会到研究生才开始学呢？晚是晚了一点，不过再困难也得慢慢啃下来，否则这些思想的缺失会影响到进一步的学习和研究。追问实变我们本科开过，但是那时只顾准备考研了，实变学的很浅很浅，期末考试靠划题。泛函我们本科压根没开过。。。现在该读研了，老师让看这些，现在就愁了，整天恶补，但是还是晕乎的。真想学，也认真自学了，但总有雾里看花的感觉。好象会又好象什么都不会。。。
做梦都是做题，真的。。。
请问学泛函还要会拓补？天啊。。。本来只愁实变，现在还要再恶补拓补。。。
加油吧，慢慢学吧。。。
泛函分析是一个相当广阔的领域，你将来可以从事基础理论研究，也可以从事应用研究， 具体地说，泛函分析目前大概有四个分支，空间理论，算子理论与算子代数，非线性泛函分析和应用泛函分析，后两者是应用方向的，可以向偏微分方程，控制，最优化等方向转。 如果想从事前两者的研究，特别是算子理论和算子代数，需要你对分析（实分析，复分析），拓扑（一般拓扑），代数（近世代数，结合代数理论）等都有一定的知识储备，从而可以在具体的研究方向上，通过读很好的综述文章，以及最新的文献，在了解了此方向的来龙去脉后，才可能提出自己的问题，写文章。一定要打下坚实的基础之后，才能写文章； 我知道年轻一点的有北大的老葛 最后，目前泛函分析与其他的数学分支有很多交叉学科，你不妨看一下，祝你成功
泛函是对函数概念的一种深化，能教给人们更加本质的方面理解世界。
它比通常的抽象数学有更加形象，因为有大量的函数例子使它不至于空洞。
另外泛函在应用上非常广泛，在武汉大学哲学系实验班的课程表中也有泛函分析！
变分法的基础部分不用学泛函就能学懂，只要你数学分析（高数）基础还可以。泛函比较难，自学要很久才能学通。所以，如果你只是想应用变分法去解决实际问题，那泛函就没有必要学了，你只要看看变分法就行了。 至于实变函数论吗，你要是今后不想研究纯数学，就不用学了；不过你要是想锻炼一下思维，那实函绝对是本好书，学懂了你对数学的认识也进了一大步，要知道越难的知识对人水平的提高也越大。