罗尔（Rolle）中值定理 如果函数f(x)满足：①在[a,b]上连续,②在(a,b)内可导,③f(a)=f(b),则至少存在一个ξ∈(a,b),使得 f'(ξ)=0.
用罗尔中值定理证明：方程3ax²+2bx-（a+b）=0在（0，1）内有实根。
证明： 设F（x）=ax³+bx²-（a+b）x则F(x)在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，所以由罗尔中值定理，至少存在一点 使。
则在开区间（a,b）内至少存在一点 ξ，使得 f ' (ξ)=0 上个图：例1：函数f（x）= 在区间 [0,2]上满足罗尔定理条件的ξ=?解：闭区间连续f（0）=f（2）开区间可导 f '（x）= ，。
罗尔（Rolle）中值定理 罗尔中值定理:如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,开区间(a,b)内具有导数,且在区间端点函数值相等,即f(a)=f(b),那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ。
2. 若M>m，则因为f(a)=f(b)使得最大值M与最小值m至少有一个在(a,b)内某点ξ处取得，从而ξ是f(x)的极值费马引理点，由条件f(x)在开区间(a,b)内可导得f(x)在ξ处可导，故由推知：f'(ξ)=0。